Правильная треугольная пирамида Решение задач по готовым чертежам МБОУ Верхняковская СОШ Учитель математики: Мартыненко Л.Н. DABC-правильная пирамида, DO ┴ (ABC),CK ┴ AB AM ┴ BC BN ┴ AC. Задача №1: Найти DO
- Подсказки:
- Найти DK
- Примените свойство медиан треугольника
- Примените теорему Пифагора для нахождения DO
- Подсказки:
- Примените теорему косинусов
- Подсказки:
- Рассмотрите треугольники KDM иDO1O2
- Найдите KM
- Используя свойство средней линии треугольника, найдите сторону треугольника
- Подсказки:
- Используйте свойство медиан треугольника
- Примените теорему Пифагора для нахождения высоты
- Подсказки:
- Примените свойство биссектрисы треугольника
- Подсказки:
- Какой элемент нужно найти для вычисления DO?
- Используйте свойство медиан треугольника и соотношения в прямоугольном треугольнике
- Подсказки:
- Примените свойство медиан треугольника для нахождения OM
- Подсказки:
- Используйте свойство медиан треугольника и соотношения в прямоугольном треугольнике
- Подсказки:
- Используйте свойство медиан треугольнике и соотношения в прямоугольном треугольнике
- Подсказки:
- Найдите DO
- Подсказки:
- Запишите формулу площади треугольника
- Найдите PL из подобия треугольников ABC и APL
- Найдите QL из подобия треугольников ADC и AQL
- Найдите высоту треугольника PQL, используя теорему Пифагора
- Подсказки:
- Запишите формулу площади треугольника
- Найдите CK
- Используйте свойство медиан треугольника для нахождения CO
- Найдите высоту треугольника CDK
Геометрия. Задачи и упражнения на готовых чертежах. 10-11 классы.Рабинович Е.М.
Оглавление
Предисловие 3
Повторение курса планиметрии 5
Таблица 1. Решение треугольников 5
Таблица 2. Площадь треугольника 6
Таблица 3. Площадь четырехугольника 7
Таблица 4. Площадь четырехугольника 8
Стереометрия. 10 класс 9
Таблица 10.1. Аксиомы стереометрии и их простейшие следствия... 9
Таблица 10.2. Аксиомы стереометрии и их простейшие следствия. 10
Таблица 10.3. Параллельность прямых в пространстве. Скрещивающиеся прямые 11
Таблица 10.4. Параллельность прямых и плоскостей 12
Таблица 10.5. Признак параллельности плоскостей 13
Таблица 10.6. Свойства параллельных плоскостей 14
Таблица 10.7. Изображение пространственных фигур на плоскости 15
Таблица 10.8. Изображение пространственных фигур на плоскости 16
Таблица 10.9. Перпендикулярность прямой и плоскости 17
Таблица 10.10. Перпендикулярность прямой и плоскости 18
Таблица 10.11. Перпендикуляр и наклонная 19
Таблица 10.12. Перпендикуляр и наклонная 20
Таблица 10.13. Теорема о трех перпендикулярах 21
Таблица 10.14. Теорема о трех перпендикулярах 22
Таблица 10.15. Теорема о трех перпендикулярах 23
Таблица 10.16. Перпендикулярность плоскостей 24
Таблица 10.17. Перпендикулярность плоскостей 25
Таблица 10.18. Расстояние между скрещивающимися прямыми 26
Таблица 10.19. Декартовы координаты в пространстве 27
Таблица 10.20. Угол между скрещивающимися прямыми 28
Таблица 10.21. Угол между прямой и плоскостью 29
Таблица 10.22. Угол между плоскостями 30
Таблица 10.23. Площадь ортогональной проекции многоугольника 31
Таблица 10.24. Векторы в пространстве 32
Стереометрия. 11 класс 33
Таблица 11.1. Двугранный угол. Трехгранный угол 33
Таблица 11.2. Прямая призма 34
Таблица 11.3. Правильная призма 35
Таблица 11.4. Правильная призма 36
Таблица 11.5. Наклонная призма 37
Таблица 11.6. Параллелепипед 38
Таблица 11.7. Построение сечений призмы 39
Таблица 11.8. Правильная пирамида 40
Таблица 11.9. Пирамида 41
Таблица 11.10. Пирамида 42
Таблица 11.11. Пирамида. Усеченная пирамида 43
Таблица 11.12. Построение сечений пирамиды 44
Таблица 11.13. Цилиндр 45
Таблица 11.14. Конус 46
Таблица 11.15. Конус. Усеченный конус 47
Таблица 11.16. Шар 48
Таблица 11.17. Вписанный и описанный шар 49
Таблица 11.18. Объем параллелепипеда 50
Таблица 11.19. Объем призмы 51
Таблица 11.20. Объем пирамиды 52
Таблица 11.21. Объем пирамиды 53
Таблица 11.22. Объем пирамиды. Объем усеченной пирамиды 54
Название: Геометрия. Задачи и упражнения на готовых чертежах. 10-11 класс.
Учитель математики, работающий в старших классах, хорошо знает, как трудно научить учеников делать наглядные и правильные чертежи к стереометрическим задачам.
Из-за недостатка пространственного воображения стереометрическая задача, к которой нужно сделать чертеж самостоятельно, зачастую становится для ученика непосильной.
Именно поэтому использование готовых чертежей к стереометрическим задачам значительно увеличивает объем рассматриваемого на уроке материала, повышает его эффективность.
Предлагаемое пособие является дополнительным сборником задач по геометрии для учащихся 10-11 классов общеобразовательной школы и ориентировано на учебник А.В. Погорелова "Геометрия 7-11. Оно является продолжением аналогичного пособия для учащихся 7-9 классов.
Пособие составлено в виде таблиц и содержит более 350 задач. Задачи каждой таблицы соответствуют определенной теме школьного курса геометрии 10-11 классов и расположены внутри таблицы в порядке возрастания их сложности.
Оглавление
Предисловие
Повторение курса планиметрии
Таблица 1. Решение треугольников
Таблица 2. Площадь треугольника
Таблица 3. Площадь четырехугольника
Таблица 4. Площадь четырехугольника
Стереометрия. 10 класс
Таблица 10.1 Аксиомы стереометрии и их простейшие следствия
Таблица 10.2. Аксиомы стереометрии и их простейшие следствия
Таблица 10.3. Параллельность прямых в пространстве. Скрещивающиеся прямые
Таблица 10.4. Параллельность прямых и плоскостей
Таблица 10.5. Признак параллельности плоскостей
Таблица 10.6. Свойства параллельных плоскостей
Таблица 10.7. Изображение пространственных фигур на плоскости
Таблица 10.8. Изображение пространственных фигур на плоскости
Таблица 10.9. Перпендикулярность прямой и плоскости
Таблица 10.10. Перпендикулярность прямой и плоскости
Таблица 10.11. Перпендикуляр и наклонная
Таблица 10.12. Перпендикуляр и наклонная
Таблица 10.13. Теорема о трех перпендикулярах
Таблица 10.14. Теорема о трех перпендикулярах
Таблица 10.15. Теорема о трех перпендикулярах
Таблица 10.16. Перпендикулярность плоскостей
Таблица 10.17. Перпендикулярность плоскостей
Таблица 10.18. Расстояние между скрещивающимися прямыми
Таблица 10.19. Декартовы координаты в пространстве
Таблица 10.20. Угол между скрещивающимися прямыми
Таблица 10.21. Угол между прямой и плоскостью
Таблица 10.22. Угол между плоскостями
Таблица 10.23. Площадь ортогональной проекции многоугольника
Таблица 10.24. Векторы в пространстве
Стереометрия. 11 класс
Таблица 11.1. Двугранный угол. Трехгранный угол
Таблица 11.2. Прямая призма
Таблица 11.3. Правильная призма
Таблица 11.4. Правильная призма
Таблица 11.5. Наклонная призма
Таблица 11.6. Параллелепипед
Таблица 11.7. Построение сечений призмы
Таблица 11.8. Правильная пирамида
Таблица 11.9. Пирамида
Таблица 11.10. Пирамида
Таблица 11.11. Пирамида. Усеченная пирамида
Таблица 11.12. Построение сечений пирамиды
Таблица 11.13. Цилиндр
Таблица 11.14. Конус
Таблица 11.15. Конус. Усеченный конус
Таблица 11.16. Шар
Таблица 11.17. Вписанный и описанный шар
Таблица 11.18. Объем параллелепипеда
Таблица 11.19. Объем призмы
Таблица 11.20. Объем пирамиды
Таблица 11.21. Объем пирамиды
Таблица 11.22. Объем пирамиды. Объем усеченной пирамиды
Таблица 11.23. Объем и площадь боковой поверхности цилиндра
Таблица 11.24. Объем и площадь боковой поверхности конуса
Таблица 11.25. Объем конуса. Объем усеченного конуса. Площадь боковой поверхности конуса. Площадь боковой поверхности усеченного конуса
Таблица 11.26. Объем шара. Площадь поверхности шара
Ответы, указания, решения
Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
Скачать книгу Геометрия. Задачи и упражнения на готовых чертежах. 10-11 класс. Рабинович Е.М. 2006 - fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.
Блок уроков по теме: “ Пирамида”
(9 уроков, из них 1 урок контрольная работа)
Цели:
- Ввести понятие пирамиды, ее элементов, понятие правильной и усеченной пирамиды, рассмотреть сечения пирамиды.
- Научить решать задачи на нахождение элементов пирамиды, площади боковой и полной поверхностей пирамиды, задачи на построение сечений пирамиды.
- Развивать в ходе решения задач пространственное представление, творческое и логическое мышление.
- Применять уровневую дифференциацию, учить детей самостоятельно выбирать уровень подготовки своих знаний.
ПЛАН ПРОХОЖДЕНИЯ ТЕМЫ
- Урок-лекция с опорным конспектом.
- Урок решения обучающих задач на построение сечений.
- Урок-зачет по проверке знаний теории. Решение опорных задач.
- Решение опорных задач и задач продвинутого уровня.
- Решение задач продвинутого уровня (в конце урока самостоятельная работа по домашним заданиям).
- Урок-консультация (решение задач из самостоятельной работы, которые вызвали затруднения)
- Урок-семинар по теме.
- Правильные многогранники.
- Контрольная работа.
Урок первый .
Лекция с опорным конспектом.
Цели: ввести понятия пирамиды, ее элементов, усеченной и правильной пирамиды, рассмотреть сечения пирамиды, вывести формулу для нахождения площади боковой поверхности правильной пирамиды.
План лекции:
- Определение пирамиды, ее элементов.
- Изображение пирамиды и ее сечений.
- Усеченная пирамида.
- Правильная пирамида. Положение основания высоты правильной пирамиды.
- Формула площади боковой поверхности правильной пирамиды.
Домашнее задание: учить лекцию, пп 176-179 из учебника А.В. Погорелова.
Сообщение тем творческих заданий.
1. Первые сведения о параллелепипедах и их свойствах.
2. Значение пирамид с исторической и математической точек зрения.
3. Платоновы тела и их свойства.
4. Эйлер. Теорема о Числе граней, вершин и ребер многогранника.
5. Архимед и его "тела".
6. Геометрия на кухне.
7. Комфортность в помещении.
8. История геометрии: от Древнего мира до наших дней.
9. История измерения площадей и объёмов.
10. Многогранники и тела вращения в архитектуре.
11. Многогранники в мире химии.
Урок второй.
Решение обучающих задач на построение сечений пирамиды.
Цели: закрепление изученных понятий, развитие пространственного представления.
Ход урока:
- Фронтальная беседа по прошедшей лекции.
- Решение задач на построение сечений.
Д/м А.П. Ершова. С-8, Вариант А 1 №1,2,3, ВариантБ 1 №2,3.
- Самостоятельно с проверкой Вариант А 2 №2, Вариант Б 2 №1.
- Домашнее задание: Вариант А 2 №3, Вариант Б 2 №2,3. Повторить п. 67,160-162.
Урок третий.
Проверка знаний теории и решение опорных задач.
Цели: проконтролировать знания учащихся по теме и их применение в решении элементарных задач.
Ход урока:
- Зачет по теории.
- Актуализация знаний. Повторение правил решения прямоугольных треугольников, понятий углов между плоскостями, между прямой и плоскостью.
- Решение задач на нахождение элементов правильной четырехугольной пирамиды.
Сборник задач. № 1-4 устное решение по готовому рисунку.
№5 таблица 1. (№1,2,4,5) таблица 2. (№1,3)
Домашнее задание: Сборник задач. №5 таблица 1. (№3,6,7) таблица 2. (№2,4)
Повторить п. 116, 127.
Урок четвертый .
Решение опорных задач на нахождение элементов правильной треугольной пирамиды, задач на применение свойств пирамид, имеющих равные боковые ребра, равные апофемы.
Цели: учить применять знания по теории в решении элементарных задач.
Ход урока:
- Проверка домашнего задания.
- Актуализация знаний. Повторение свойств правильного треугольника, формул площади, радиусов вписанной и описанной окружностей.
- Решение задач. Сборник задач. №10 таблица 3. (1,3) таблица 4. (1,2)
№11. таблица 5. (1,3)
- Рассмотреть свойства пирамид, имеющих равные боковые ребра, равные апофемы. Групповая работа. Сборник задач. №6, 7,8,9.
- Домашнее задание: Сборник задач. №10 таблица 3. (2,4) таблица 4. (3,4)
№11. таблица 5. (2,5) Повторить п. 143-148.
Урок пятый.
Решение задач.
Цели: учить применять в решении задач свойства перпендикулярности плоскостей, перпендикулярности прямой и плоскости, теорему о трех перпендикулярах.
Ход урока:
- Проверка домашнего задания. Актуализация знаний. Повторение свойств перпендикулярности в пространстве.
- Решение задач. Сборник задач. №13, 14, 15.
- Проверочная самостоятельная работа.
Д/М Е.М. Рабинович Таблицы 11.8;11.9,11.10 №1,2,3,4, Учащиеся самостоятельно выбирают уровень сложности задач.
- Домашнее задание: Сборник задач. №12, 16.
Урок шестой.
Консультация по решению задач из самостоятельной работы. Решение задач на применение свойств правильной усеченной пирамиды.
Цели: коррекция знаний, закрепление понятий, связанных с правильной усеченной пирамидой.
Ход урока:
- Консультация по решению задач из самостоятельной и домашней работы. Те, ученики, у которых нет вопросов выполняют задания из д/м Е.М. Рабинович Таблица 11.12.
- Актуализация знаний. Повторение свойств правильной усеченной пирамиды, свойств трапеции.
- Решение задач. А.В. Погорелов. №70,72,73.
- Обсуждение темы семинара, распределение заданий по группам.
- Домашнее задание: №71, подготовиться к семинару.
Урок седьмой.
Семинар по теме: «Пирамида »
Цели: способствовать выработке у учащихся умению пользоваться дополнительной литературой, умению выдвигать гипотезы и доказывать их, формировать навыки коллективной работы.
На подготовку к семинару отводится 3-4 дня. Класс разбивается на 5 групп, каждая из которых получает одно из 5 заданий, перечисленных в плане семинара.
Каждая группа при подготовке к семинару прорабатывает соответствующие разделы учебника и лекции, а также используют дополнительную литературу, получают консультации учителя.
План семинара:
1. Доклад по теме: «Многогранник это тело или поверхность. Виды многогранников». (1 группа)
2. Правильные многогранники. Развертка правильного многогранника. (2 группа)
3. Решение задач на исследование положения основания высоты пирамиды. (3,4 и 5 группы) А.П. Ершова. С-10, Вариант А 2 №1,С-11, ВариантБ 2 №1,2.
4. Домашнее задание: Д/м А.П. Ершова. С-10, Вариант А 1 №1,С-11, ВариантБ 1 №1,2.
Урок восьмой.
Лекция-презентация по теме: «Правильные многогранники».
План лекции
- «Великолепная пятерка» (презентация о пяти правильных многогранниках) Учащиеся по ходу лекции делают записи в тетради.
- Презентация «Цветы из сада геометрии»
1. Определение правильного выпуклого многогранника.
2. Платоновы тела, их виды.
3. Формула Эйлера для выпуклых многогранников.
4. Формулы для вычисления объема и площади поверхности правильных многогранников.
5. Использование формы правильных многогранников природой и человеком.
6. Звездчатые многогранники, их виды.
7. Архимедовы тела, их виды.
Домашнее задание: сделать модели многогранников из различного материала, подготовиться к контрольной работе.
Урок девятый.
Контрольная работа по теме: «Пирамида»
Цели: проверить знания детей по данной теме.
1 вариант №1. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна 4см, а апофема образует с плоскостью основания угол 60 0 . найдите: а) высоту пирамиды; №2. Основание пирамиды правильный треугольник. Две боковые грани пирамиды перпендикулярны основанию, а третья наклонена под углом 30 0 . Высота пирамиды равна 6см №3. Основание пирамиды - прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8 см. Все двугранные углы при основании пирамиды равны 60 0 . Найдите полную поверхность пирамиды. | 2 вариант №1. Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 4см, а апофема образует с высотой угол 45 0 . найдите: а) площадь основания пирамиды; б) боковую поверхность пирамиды. №2. Основание пирамиды правильный треугольник со стороной 6см. Две боковые грани пирамиды перпендикулярны основанию, а третья наклонена под углом 60 0 . Найдите полную поверхность пирамиды. №3. Основание пирамиды - прямоугольник со сторонами 12 и 16 см. Высота пирамиды равна 24см и образует равные углы со всеми боковыми ребрами. Найдите полную поверхность пирамиды. |
Сборник задач по теме: «Пирамида».
1. В правильной четырехугольной пирамиде высота составляет с боковой гранью угол, равный 37°. Найдите угол между апофемами противоположных боковых граней.
2. Боковое ребро правильной пирамиды вдвое больше ее высоты. Определите угол наклона бокового ребра к плоскости основания.
3. Найдите величину двугранного угла при основании правильной четырехугольной пирамиды, если высота пирамиды вдвое меньше стороны основания.
4. Высота правильной четырехугольной пирамиды равна половине диагонали основания. Чему равен угол наклона бокового ребра к плоскости основания?
Таблица 1
S бок | ||||||
45° | ||||||
30° | ||||||
Таблица 2
60° |
|||||
45° |
|||||
6. Основанием пирамиды КАВСД служит прямоугольник со сторонами 6см и 8 см. Каждое боковое ребро пирамиды равно 13 см. Найдите высоту пирамиды и площадь боковой поверхности.
7. Основание пирамиды – ромб со стороной 8см и углом 30 0 . Боковые грани пирамиды образуют с плоскостью основания углы 60 0 . Найдите площадь поверхности пирамиды и высоту.
8. Основание пирамиды – прямоугольный треугольник с гипотенузой 10 см. Боковые ребра пирамиды образуют с плоскостью основания углы 45 0 . Найдите высоту пирамиды.
9. Основание пирамиды - треугольник со сторонами 13см, 14см, 15см. Высоты боковых граней пирамиды равны 5см. Найдите высоту пирамиды.
Таблица 3
45° |
|||||
60° |
|||||
Таблица 4
45° |
|||||
12. Боковые ребра пирамиды равны гипотенузе прямоугольного треугольника, лежащего в основании, и равны 12 см. Вычислите высоту пирамиды.
13 . В правильной четырехугольной пирамиде боковое ребро равно 20 см, оно составляет с основанием угол 45°. Определите расстояние от центра основания до бокового ребра.
14 . Основание пирамиды квадрат АВСД. Высота пирамиды проходит через вершину В. Докажите, что все боковые грани пирамиды - прямоугольные треугольники.
15. Основание пирамиды МАВСД – прямоугольник АВСД со сторонами АВ=5см, ВС=15см. Грани МАВ и МВС перпендикулярны основанию. Найдите углы наклона граней МСД и МАД к плоскости основания, если высота пирамиды 5 см.
16 . Основание пирамиды ДАВС – прямоугольный треугольник АВС, АВ=6см, угол А=30 0 , угол С-прямой. Грани ДАС и ДСВ перпендикулярны плоскости основания ДС=10см. Найдите площадь грани ДАВ и угол между плоскостями ДСА и ДСВ.
Литература
- Р.Б. Райхмист. Задачник по математике для учащихся средней школы и поступающих в ВУЗы.– М.: «Московский лицей», 2001.
- Л.О. Денищева, Т.Ф. Михеева. Учимся решать задачи.– М.: «Интеллект-центр», 2000.
- Т.Л. Афанасьева, Л.А. Тапилина. «Геометрия 11 класс» (поурочные планы) – Волгоград.: «Учитель», 1999.
- Т.Н. Мищенко Рабочая тетрадь. 11 класс. К учебнику Л.С. Атанасяна и др. Геометрия 10-11 класс.
скачать проект электроснабжения
Загрузка...
