Рассмотрим по отдельности случаи подключения внешнего источника переменного тока к резистру с сопротивлением R , конденсатору емкости C и катушки индуктивности L . Во всех трех случаях напряжения на резисторе, конденсаторе и катушке равны напряжению источника переменного тока.
1. Резистор в цепи переменного тока
Сопротивление R называют активным, потому что цепь с таким сопротивлением поглощает энергию.
Активное сопротивление - устройство, в котором энергия электрического тока необратимо преобразуется в другие виды энергии (внутреннюю, механическую)
Пусть напряжение в цепи меняется по закону: u = Umcos ωt ,
тогда сила тока меняется по закону: i = u/R = I R cosωt
u – мгновенное значение напряжения;
i – мгновенное значение силы тока;
I R - амплитуда тока, протекающего через резистор.
Связь между амплитудами тока и напряжения на резисторе выражается соотношением RI R = U R
Колебания силы тока совпадают по фазе с колебаниями напряжения. (т.е. фазовый сдвиг между током и напряжением на резисторе равен нулю).
2. Конденсатор в цепи переменного тока
При включении конденсатора в цепь постоянного напряжения сила тока равна нулю, а при включении конденсатора в цепь переменного напряжения сила тока не равна нулю. Следовательно, конденсатор в цепи переменного напряжения создает сопротивление меньше, чем в цепи постоянного тока.
I C и напряжения
Ток опережает по фазе напряжение на угол π/2.
3. Катушка в цепи переменного тока
В катушке, включенной в цепь переменного напряжения, сила тока меньше силы тока в цепи постоянного напряжения для той же катушки. Следовательно, катушка в цепи переменного напряжения создает большее сопротивление, чем в цепи постоянного напряжения.
Соотношение между амплитудами тока I L и напряжения U L :
ωLI L = U L
Ток отстает по фазе от напряжения на угол π/2.
Теперь можно построить векторную диаграмму для последовательного RLC-контура, в котором происходят вынужденные колебания на частоте ω. Поскольку ток, протекающий через последовательно соединенные участки цепи, один и тот же, векторную диаграмму удобно строить относительно вектора, изображающего колебания тока в цепи. Амплитуду тока обозначим через I 0 . Фаза тока принимается равной нулю. Это вполне допустимо, так как физический интерес представляют не абсолютные значения фаз, а относительные фазовые сдвиги.
Векторная диаграмма на рисунке построена для случая, когда или В этом случае напряжение внешнего источника опережает по фазе ток, текущий в цепи, на некоторый угол φ.
Векторная диаграмма для последовательной RLC-цепи
Из рисунка видно, что
откуда следует
Из выражения для I 0 видно, что амплитуда тока принимает максимальное значение при условии
Явление возрастания амплитуды колебаний тока при совпадении частоты ω внешнего источника с собственной частотой ω 0 электрической цепи называется электрическим резонансом . При резонансе
Сдвиг фаз φ между приложенным напряжением и током в цепи при резонансе обращается в нуль. Резонанс в последовательной RLC-цепи называется резонансом напряжений . Аналогичным образом с помощью векторной диаграммы можно исследовать явление резонанса при параллельном соединении элементов R , L и C (так называемый резонанс токов ).
При последовательном резонансе (ω = ω 0) амплитуды U C и U L напряжений на конденсаторе и катушке резко возрастают:
Рисунок иллюстрирует явление резонанса в последовательном электрическом контуре. На рисунке графически изображена зависимость отношения амплитуды U C напряжения на конденсаторе к амплитуде 0 напряжения источника от его частоты ω. Кривые на рисунке называются резонансными кривыми .
На сегодняшней встрече мы поведем разговор об электричестве, которое стало неотъемлемой частью современной цивилизации. Электроэнергетика вторглась во все сферы нашей жизни. А присутствие в каждом доме бытовых приборов, использующих электрический ток настолько естественная и неотъемлемая часть быта, что мы принимаем это как должное.
Итак, вниманию наших читателей предлагаются основные сведения об электрическом токе.
Что такое электрический ток
Под электрическим током понимают направленное движение заряженных частиц. Вещества, содержащие достаточное количество свободных зарядов, называют проводниками. А совокупность всех устройств, соединенных между собой помощью проводов называют электрической цепью.
В повседневной жизни мы используем электричество, проходящее по металлическим проводникам. Носителями заряда в них являются свободные электроны.
Обычно они хаотично мечутся между атомами, но электрическое поле вынуждает их двигаться в определенном направлении.
Как это происходит
Поток электронов в цепи можно сравнить с потоком воды, ниспадающей с высокого уровня на низкий. Роль уровня в электрических цепях играет потенциал.
Для Протекания тока в цепи на её концах должна поддерживаться постоянная разность потенциалов, т.е. напряжение.
Его принято обозначать буквой U и измерять в вольтах (B).
Благодаря приложенному напряжению в цепи устанавливается электрическое поле, которое и придаёт электронам направленное движение. Чем больше напряжение, тем сильнее электрическое поле, а значит и интенсивность потока направленно движущихся электронов.
Скорость распространения электрического тока равна скорости установления в цепи электрического поля, т. е. 300 000 км/с, однако скорость электронов едва достигает лишь нескольких мм в секунду.
Принято считать, что ток течёт от точки с большим потенциалом, т. е. от (+) к точке с меньшим потенциалом, т. е. к (−). Напряжение в цепи поддерживается источником тока, например батарейкой. Знак (+) на её конце означает, недостаток электронов, знак (−) их избыток, поскольку электроны — носители именно отрицательного заряда. Как только цепь с источником тока становиться замкнутой, электроны устремляются от места, где их избыток, к положительному полюсу источника тока. Их путь пролегает через провода, потребители, измерительные приборы и другие элементы цепи.
Обратите внимание, направление тока противоположно направлению движения электронов.
Просто направление тока по договоренности учёных определили до того как была установлена природа тока в металлах.
Некоторые величины, характеризующие электрический ток
Сила тока. Электрический заряд, проходящий через поперечное сечение проводника за 1 сек, называют силой тока. Для её обозначения используют букву I, измеряют в амперах (A).
Сопротивление. Следующая величина, о которой необходимо знать - это сопротивление. Оно возникает из-за столкновений направленно движущихся электронов с ионами кристаллической решетки. В результате таких столкновений электроны передают ионам часть своей кинетической энергии. В результате чего проводник нагревается, а сила тока уменьшается. Сопротивление обозначается буквой R и измеряется в омах (Ом).
Сопротивление металлического проводника тем больше, чем длиннее проводник и меньше площадь его поперечного сечения. При одинаковой длине и диаметре провода наименьшим сопротивлением обладают проводники из серебра, меди, золота и алюминия. По вполне понятным причинам на практике используют провода из алюминия и меди.
Мощность. Выполняя расчёты для электрических цепей, иногда требуется определить потребляемую мощность (P).
Для этого следует силу тока, протекающую по цепи умножить на напряжение.
Единицей измерения мощности служит ватт (Вт).
Постоянный и переменный ток
Ток, даваемый разнообразными батарейками и аккумуляторами, является постоянным. Это означает, что силу тока в такой цепи можно изменять лишь по величине, меняя различными способами её сопротивление, а его направление при этом сохраняется неизменным.
Но большинство электробытовых приборов потребляют переменный ток, т. е. ток величина и направление которого непрерывно изменяются по определенному закону.
Он вырабатывается на электростанциях, а затем через линии высоковольтных передач попадает в наши дома и на предприятия.
В большинстве стран частота изменения направления тока равна 50 Гц, т. е происходит 50 раз в секунду. При этом каждый раз сила тока постепенно нарастает, достигает максимума, затем убывает до 0. Затем этот процесс повторяется, но уже при противоположном направлении тока.
В США все приборы работают на частоте 60 Гц. Интересная ситуация сложилась в Японии. Там на одной трети страны используют переменный ток с частотой в 60 Гц, а на остальной части - 50 Гц.
Осторожно - электричество
Поражения электрическим током можно получить при использовании электробытовых приборов и от ударов молнии, поскольку человеческий организм хороший проводник тока. Нередко электротравмы получают, наступив на лежащий на земле провод или отодвинув руками отвисшие электрические провода.
Напряжение свыше 36 В считается опасным для человека. Если через тело человека пройдет ток всего лишь в 0,05 А, он может вызвать непроизвольное сокращение мышц, которое не позволит человеку самостоятельно оторваться от источника поражения. Ток в 0,1 А смертелен.
Ещё опаснее переменный ток, поскольку оказывает более сильное воздействие на человека. Этот наш друг и помощник в ряде случаев превращается в беспощадного врага, вызывая нарушение дыхания и работу сердца, вплоть до его полной остановки. Он оставляет страшные метки на теле в виде сильнейших ожогов.
Как помочь пострадавшему? Прежде всего, отключить источник поражения. А затем уже позаботиться об оказании первой медицинской помощи.
Наше знакомство с электричеством подходит к концу. Добавим лишь несколько слов о морских обитателях, обладающих «электрическим оружием». Это некоторые виды рыб, морской угорь и скат. Самым опасным из них является морской угорь.
Не стоит подплывать к нему на расстояние менее 3 метров. Удар его не смертелен, но сознание можно потерять.
Если это сообщение тебе пригодилось, буда рада видеть тебя
Лекция: «Переменный ток. Импеданс» 1. Переменный ток 2. Полное сопротивление цепи переменного тока. Резонанс напряжений. 3. Импеданс тканей организма. Физические основы реографии. 4. Области α-, β- и γ-дисперсии импеданса (самостоятельно, Ремизов А. Н. , Максина А. Г. , Потапенко А. Я. Медицинская и биологическая физика. М. , 2004, § 14. 4)
1. Переменный ток В широком смысле слова переменный ток - любой ток, изменяющийся со временем. Однако чаще термин «переменный ток» применяют к квазистационарным токам, зависящим от времени по гармоническому закону. Квазистационарным называют такой ток, для которого время установления одинакового значения по всей цепи значительно меньше периода колебаний. Будем считать, что для квазистационарных токов, так же как и для постоянных, сила тока одновременно одинакова в любом сечении неразветвленного проводника. Для них справедлив закон Ома, однако сопротивление цепи зависит от частоты изменения тока. Потерями энергии на электромагнитное излучение этих токов будем пренебрегать. Переменный ток можно рассматривать как вынужденные электромагнитные колебания. Представим три разных цепи (рис. 1, а - 3, а), к каждой из которых приложено переменное напряжение
U = Um sinωt, (1) где Um – амплитудное значение напряжения, ω-круговая частота колебаний. Можно показать, что сила тока в цепи с резистором (рис. 1, а) будет изменяться в фазе с приложенным напряжением: I=Im sin ωt, (2) Рис. 1 Сила тока в цепи с катушкой индуктивности (рис. 2, а) будет отставать по фазе от приложенного напряжения на π/2: I=Im sin (ωt – π/2), (3)
Рис. 2 а ток в цепи с конденсатором (рис. 3, а) будет опережать по фазе напряжение на π/2: I=Im sin (ωt + π/2), (4) Рис. 3
Векторные диаграммы, соответствующие этим примерам, показаны на рис. 1, б – 3, б. Для цепи с резистором имеем омическое сопротивление (5) для цепи с катушкой индуктивности – индуктивное сопротивление (6) а для цепи с конденсатором – емкостное сопротивление (7)
2. Полное сопротивление цепи переменного тока. Резонанс напряжений. Рассмотрим цепь, в которой последовательно соединены резистор, катушка индуктивности и конденсатор (рис. 4) Рис. 4 В общем случае сила тока в цепи и напряжение изменяются не в одной фазе, поэтому I = Im sin (ωt-φ), (8) где φ – разность фаз напряжения и силы тока. Сумма напряжений на отдельных участках цепи равна внешнему напряжению: U= IR+ IXL+ IXC = UR + UL + UС, (9)
Рис. 5 На рис. 5 по оси токов направлен вектор амплитуды силы тока Im. Так как по всей цепи амплитуда силы тока одинакова, то амплитуды напряжений на участках цепи отложены относительно этого вектора: вектор URm – в одной фазе с силой тока; вектор ULm– с опережением силы тока по фазе на, вектор UCm –c отставанием от силы тока по фазе на. Используя теорему Пифагора, имеем U 2 м=U 2 Rm+(ULm-UCm)2 , (10)
Подставляя в (10) выражения этих амплитуд из (5)-(7) и учитывая закон Ома, находим (11) где Z – полное сопротивление цепи переменного тока, называемое импедансом. Из (11) получаем (12) Омическое сопротивление R цепи называют также активным, оно обусловливает выделение теплоты в цепи в соответствии с законом Джоуля-Ленца. Разность индуктивного и емкостного сопротивлений (XL - Хс) называют реактивным сопротивлением. Оно не вызывает нагревания элементов электрической цепи.
Из рис. 5 выразим значение tgφ: (13) Если Xc =XL , то tgϕ=0 и ϕ=0. Это означает, что сила тока и приложенное напряжение изменяются в одной фазе так, как будто в цепи имеется только омическое сопротивление; напряжения на индуктивности и емкости одинаковы по амплитуде, но противоположны по фазе. Этот случай вынужденных электрических колебаний называют резонансом напряжения и резонансная частота равна: (14) При этом условии полное сопротивление Z цепи имеет наименьшее значение, равное R, а сила тока достигает наибольшего значения. Векторная диаграмма для резонанса напряжений в цепи показана на рис. 6. а.
Src="http://present5.com/presentation/3/13873571_64447527.pdf-img/13873571_64447527.pdf-10.jpg" alt="а) Рис. 6 б) Если Lω>1/Сω, то tgϕ>0 и ϕ>0; сила тока отстает по"> а) Рис. 6 б) Если Lω>1/Сω, то tgϕ>0 и ϕ>0; сила тока отстает по фазе от приложенного напряжения (рис. 5). Если Lω
3. Импеданс тканей организма. Физические основы реографии Ткани организма проводят не только постоянный, но и переменный ток. В организме нет систем, подобных катушкам индуктивности, поэтому его индуктивность близка к нулю. Биологические мембраны (а следовательно и весь организм), обладают емкостными свойствами. Поэтому импеданс тканей организма определяется только омическим и емкостным сопротивлением. Омические и емкостные свойства биологических тканей моделируются с помощью эквивалентных электрических схем. Рассмотрим некоторые из них (рис. 7).
Рис. 7 Для схемы, изображенной на рис. 7. а, частотная зависимость импеданса может быть получена из (12) при L = 0: (15)
В соответствии с формулой (15) импеданс уменьшается с увеличением частоты, однако имеется противоречие с опытом: при ω→ 0 Z→∞. Последнее означает бесконечно большое сопротивление при постоянном токе, что и противоречит опыту. Для схемы, изображенной на рис. 7, б, при ω→∞ Z→ 0, что не соответствует опыту. Наиболее удачна схема рис. 7, в. В ней отсутствуют противоречия с опытом, характерные для двух предыдущих схем. Именно такое сочетание резисторов и конденсатора может быть принято за эквивалентную электрическую схему тканей организма. Частотная зависимость импеданса эквивалентной электрической схемы соответствует общему ходу экспериментальной зависимости импеданса от частоты.
Частотная зависимость импеданса позволяет оценить жизнеспособность тканей организма, что важно знать для пересадки (трансплантации) тканей и органов. Различие в частотных зависимостях импеданса получается и в случаях здоровой и больной ткани. Импеданс тканей и органов зависит также и от их физиологического состояния. Так, при кровенаполнении сосудов импеданс изменяется в зависимости от состояния сердечнососудистой деятельности. Диагностический метод, основанный на регистрации изменения импеданса тканей в процессе сердечной деятельности, называют реографией (импедансплетизмография). С помощью этого метода получают реограммы головного мозга (реоэнцефалограмма), сердца (реокардиограмма), магистральных сосудов, легких, печени и конечностей. Измерения обычно проводят на частоте 30 к. Гц.
1. Переменный ток и переменное напряжение. Сопротивление участка цепи при протекании переменного тока.
2. Протекание переменного тока по резистору. Сопротивление резистора, действующие значения тока и напряжения.
3. Конденсатор в цепи переменного тока, емкостное сопротивление.
4. Протекание переменного тока по идеальной катушке индуктивности, индуктивное сопротивление.
5. Протекание переменного тока по RLC-цепочке, импеданс. Резонанс напряжений. RCR-цепочка.
6. Импеданс тканей организма. Эквивалентная электрическая схема тканей. Реография.
7. Основные понятия и формулы.
8. Задачи.
15.1. Переменный ток и переменное напряжение. Сопротивление участка цепи при протекании переменного тока
В широком смысле «переменным» называют любой ток, который изменяется с течением времени по величине и направлению. В технике переменным называют ток, который изменяется со временем по гармоническому закону. Такой ток мы и будем рассматривать:
Переменный ток представляет собой вынужденные электромагнитные колебания, которые возникают при подключении какоголибо прибора к сети переменного напряжения:
Обычно начало отсчета времени выбирают так, чтобы для напряжения электрической сети начальная фаза была равна нулю. Поэтому в формуле (15.2) нет слагаемого φ 0 .
В цепи постоянного тока отношение напряжения к силе тока называется сопротивлением участка цепи (R = U/I). Аналогично вводят понятие сопротивления и для цепи переменного тока. Его величина обозначается буквой Х.
Сопротивление участка цепи в сети переменного тока равно отношению амплитудного значения переменного напряжения на этом участке к амплитудному значению силы тока в нем:
Максимальное значение переменного тока (I max) и его начальная фаза (φ 0)
зависят от свойств элементов, входящих в электрическую схему прибора.
Рассмотрим протекание переменного тока по таким элементам.
15.2. Протекание переменного тока по резистору. Сопротивление резистора, действующие значения тока и напряжения
Резистором называется проводник, не обладающий индуктивностью и емкостью.
Для всех частот переменного тока, который используется в технике, сопротивление резистора (X R) остается постоянным и совпадает с его сопротивлением в цепи постоянного тока:
Резистор
- единственный элемент, для которого ток и напряжение совпадают по
фазе. Для того чтобы показать разность фаз между током и напряжением в
общем случае, используют векторную диаграмму, на которой вектор,
изображающий амплитудное напряжение (U max), расположен под углом к оси токов.
Угол, который вектор U max образует с осью токов, показывает, насколько фаза напряжения опережает фазу тока.
Цепь с резистором R и соответствующая ей векторная диаграмма представлены на рис. 15.1.
Рис. 15.1.
Цепь переменного тока с резистором и ее векторная диаграмма
Поскольку ток и напряжение изменяются в одинаковой фазе, векторы U max и I max отложены по одной прямой в одном направлении.
В принципе любому переменному току сопутствует электромагнитное излучение. Однако для частот переменного тока, используемых в промышленности, интенсивность такого излучения ничтожно мала, и потерями энергии на электромагнитное излучение пренебрегают. Поэтому работа переменного тока, протекающего через резистор, полностью превращается в его внутреннюю энергию. В связи с этим сопротивление резистора называют активным.
Расчеты показывают, что средняя мощность, выделяемая в резисторе при протекании переменного (гармонического) тока, вычисляется по формулам
Значения переменного тока и напряжения, определяемые формулой (15.7), называются действующими.
Существует договоренность
о том, что по умолчанию для цепи переменного тока указывают именно действующие значения. Например, напряжение в бытовой сети переменного тока равно 220 В. Указанное значение 220 В является действующим значением напряжения.
15.3. Конденсатор в цепи переменного тока,
емкостное сопротивление
Включим в цепь переменного напряжения (15.2) конденсатор емкостью С. Вместе с изменением напряжения будет меняться и заряд конденсатора, а в подводящих проводах возникнет ток. Заряд конденсатора связан с напряжением в цепи соотношением (см. формулу 10.16)
Сопротивление конденсатора в цепи переменного тока называют емкостным сопротивлением.
Его величину найдем по формулам (15.3, 15.9):
Цепь с конденсатором и соответствующая ей векторная диаграмма представлены на рис. 15.2.
Рис. 15.2.
Цепь переменного тока с конденсатором и ее векторная диаграмма
Поскольку напряжение отстает по фазе от тока на π/2, вектор U max повернут относительно оси токов по часовой стрелке (в математике это направление считают отрицательным).
15.4. Протекание переменного тока по идеальной катушке индуктивности, индуктивное сопротивление
Включим в цепь переменного напряжения (15.2) катушку с индуктивностью L, активным сопротивлением которой можно пренебречь. Такую катушку называют идеальной. Вследствие самоиндукции в ней возникнет э.д.с., препятствующая изменению тока в цепи.
Поскольку активным сопротивлением катушки мы пренебрегаем, э.д.с. и напряжение одинаковы: ε = U. Используя формулу (10.15) для э.д.с. самоиндукции, получим дифференциальное уравнение для тока
Цепь с катушкой L и соответствующая ей векторная диаграмма представлены на рис. 15.3.
Рис. 15.3.
Цепь переменного тока с катушкой и ее векторная диаграмма
Поскольку напряжение опережает по фазе ток на π/2, то вектор U max повернут относительно оси токов против часовой стрелки (в математике это направление считают положительным).
При протекании переменного тока по конденсатору и идеальной катушке индуктивности не происходит потерь энергии. Эти элементы половину периода забирают энергию из сети и преобразуют ее в энергию электрического и магнитного поля соответственно. Вторую половину периода энергия поля возвращается в сеть, поддерживая ток. В связи с отсутствием потерь энергии емкостное и индуктивное сопротивления называют реактивными.
15.5. Протекание переменного тока по RLC-цепочке, импеданс. Резонанс напряжений
Рассмотрим цепь, состоящую из последовательно соединенных резистора R, катушки индуктивности L и конденсатора С (рис. 15.4). Если на нее подать переменное напряжение (15.2), то ток в цепи будет отставать по фазе от напряжения на некоторый угол φ:
Такая цепь имеет как активное, так и реактивное сопротивления. Поэтому ее сопротивление называют импедансом и обозначают Z.
Импеданс равен отношению амплитудного значения переменного напряжения на концах цепи к амплитудному значению силы тока в ней:
Z = U max /I max .
Рис. 15.4.
RLC-цепь в сети переменного тока и соответствующая ей векторная диаграмма
RLC-цепь и соответствующая ей векторная диаграмма представлены на рис. 15.4.
Элементы RLC-цепочки соединены последовательно. Поэтому по ним протекает одинаковый ток, а приложенное напряжение U(t) складывается из напряжений на отдельных участках цепи:
Резонанс напряжений
Если величины L, C и ω подобраны таким образом, что X c = X l , то импеданс Z (формула 15.16) имеет минимально возможное значение, равное R (Z = R). При этом амплитуда тока максимальна, а приложенное напряжение и ток изменяются в одной фазе (φ = 0). Данное
явление называется резонансом напряжений. Подставив в условие резонанса (X C = X L) выражения (15.11), (15.14), получим формулу для расчета резонансной частоты:
RCR- цепочка
Рассмотрим протекание тока по параллельной RCR-цепочке, которая моделирует проводящие свойства биологической ткани (рис. 15.5). Если ее включить в сеть переменного напряжения (15.2), то по нижнему и верхнему участкам будут протекать токи:
Вектор его амплитуды I
равен сумме амплитуд I 1
и I 2 ,
а угол опережения φ показан на рис. 15.5,б.
Приведем без вывода формулу для нахождения импеданса RCR- цепочки:
Рис. 15.5.
RCR-цепочка и ее векторная диаграмма
15.6. Импеданс тканей организма. Эквивалентная электрическая схема тканей. Дисперсия импеданса. Реография
Импеданс тканей организма
Электрические свойства тканей организма различны. Органические вещества (белки, жиры, углеводы) являются диэлектриками. В состав тканевых жидкостей входят электролиты.
Ткани состоят из клеток, важной частью которых являются мембраны. Двойной фосфолипидный слой уподобляет мембрану конденсатору.
В организме нет таких систем, которые были бы подобны катушкам индуктивности, поэтому индуктивность его близка к нулю.
Таким образом, импеданс тканей определяется только активным и емкостным сопротивлениями. Наличие в биологических системах емкостных элементов подтверждается тем, что сила тока опережает по фазе приложенное напряжение. Величина угла опережения для разных биологических объектов при частоте 1 кГц приводится в таблице.
Эквивалентная электрическая схема тканей
В общем случае органическую ткань можно рассматривать как клетки, находящиеся в проводящей среде (R 1), роль которой играет, например, межклеточная жидкость (рис. 15.6). Клеточные мембраны обладают емкостными свойствами, а электролиты внутри клетки обладают активным сопротивлением (R 2).
Этому представлению соответствует электрическая схема, рассмотренная в разделе 15.5 (см. рис. 15.5). На рисунке 15.7 показана зависимость импеданса от круговой частоты тока, которая получается из формулы (15.19) после подстановки в нее выражения для
Рис. 15.6.
Электрические свойства биологических тканей
Рис. 15.7.
Зависимость импеданса от частоты для RCR-цепочки
Дисперсия импеданса
Кривая на рис. 15.7 качественно верно описывает изменение импеданса биологической ткани: плавное уменьшение импеданса при росте частоты. Однако для реальных биологических тканей эта зависимость сложнее. На рисунке 15.8 представлен график частотной зависимости импеданса мышечной ткани, полученный экспериментально (масштаб на вертикальной оси - логарифмический).
На графике четко проявляются три интервала частот, в которых величина Z медленнее меняется с частотой по сравнению с общим ходом кривой. Они названы областями α-, β- и γ-дисперсии соответственно. Им соответствуют три области частот: низкие частоты ν < 10 кГц, радиочастоты ν = 0,1-10 МГц, микроволновые частоты ν > 0,1 ГГц.
Наличие областей α-, β- и γ-дисперсии связано с частотной дисперсией диэлектрической проницаемости (ε = f(v)), от которой зависит величина емкости (см. формулу 10.20). На рисунке 15.9 показаны структурные элементы, вносящие основной вклад в поляризацию ткани на различных частотах:
- α-дисперсия обусловлена поляризацией целых клеток (1, 2) в результате диффузии ионов, что требует относительно большого времени, поэтому данный механизм проявляется при действии электрического поля низкой частоты (0,1-10 кГц). В этой области емкостное сопротивление мембран велико и преобладают токи, протекающие через растворы электролитов, окружающие фрагменты мембран.
Рис. 15.8.
Частотная зависимость импеданса биологической ткани
Рис. 15.9.
Структурные элементы, вносящие основной вклад в поляризацию ткани
Поляризация клеток - самый медленный процесс среди всех механизмов поляризации. При увеличении частоты поляризация клеток практически полностью прекращается.
- β-дисперсия обусловлена структурной поляризацией клеточных мембран (3), в которой участвуют белковые макромолекулы (4), а на ее верхней границе - глобулярные водорастворимые белки (5), фосфолипиды (6, 7) и мельчайшие субклеточные структуры (8). При этом получаются существенно меньшие значения диэлектрической проницаемости, чем при поляризации целых клеток. Этот механизм поляризации доминирует на частотах 1-10 МГц. При дальнейшем увеличении частоты перестает работать и этот механизм.
- γ-дисперсия обусловлена процессами ориентационной поляризации молекул (9, 10) свободной и связанной воды, а также низкомолекулярных веществ типа сахаров и аминокислот. При этом диэлектрическая проницаемость уменьшается еще больше. Этот механизм поляризации доминирует на частотах выше 1 ГГц.
В частотных диапазонах, соответствующих главным областям дисперсии, происходят наибольшие потери энергии переменного электрического тока (поля). Выделение энергии происходит на том структурном уровне, который отвечает за данную область диспер-
сии. На этом основано действие различных методов физиотерапии с использованием переменных токов и полей.
Импеданс ткани зависит не только от частоты, но и от состояния ткани. Частотная зависимость импеданса позволяет оценить жизнеспособность тканей организма. Это используют при пересадке (трансплантации) тканей и органов. Так, например, определение жизнеспособности трансплантата является одной из первоочередных задач офтальмохирургии. Такая оценка нужна и при определении тактики лечения ожогов роговицы, при кератопластике и кератопротезировании на глазах с бельмом (помутнение роговицы глаза), при наблюдении за течением кератита (воспаление роговицы), для определения пригодности консервативного донорского материала.
Реография
Импеданс тканей и органов зависит от их физиологического состояния и от степени наполнения кровеносных сосудов, проходящих в этих тканях. При наполнении ткани кровью во время систолы полное сопротивление ткани уменьшается, а при диастоле увеличивается. Импеданс изменяется в такт с работой сердца. Это используется в диагностических целях.
Реография - диагностический метод, основанный на регистрации изменения импеданса тканей в процессе сердечной деятельности.
Эти изменения представляются в виде реограммы. Пример реограммы голени здорового человека представлен на рис. 15.10.
Рис. 15.10.
Реограмма голени здорового человека
При наполнении сосудов кровью величина электропроводимости тканей изменяется, а вместе с ней изменяется и величина импеданса.
По скорости изменения полного сопротивления можно судить о быстроте притока крови при систоле и оттока крови во время диастолы.
С помощью этого метода получают реограммы головного мозга (реоэнцефалограмма), сердца (реокардиограмма), магистральных сосудов, легких, печени, конечностей. Исследование реограмм применяют в диагностике заболеваний периферических кровеносных сосудов, сопровождающихся изменением их эластичности, сужением артерий и т.д.
15.7. Основные понятия и формулы
Окончание таблицы
15.8. Задачи
1. Напряжение и сила тока в цепи изменяются по закону U = 60sin(314t + 0,25) мВ, i = 15sin(314t) мА. Определить импеданс цепи Z и фазовый угол между током и напряжением.
2. Допустимо ли в цепь переменного тока напряжением 220 В включать конденсатор, напряжение пробоя для которого равно 250 В?
5.
Частота переменного тока равна 50 Гц. Сколько раз за секунду напряжение равно нулю?
Ответ: 100 раз.
6. Найти полное сопротивление переменному току, если последовательно включены:
а) резистор сопротивлением R 1 = 3 Ом и катушка с индуктивным сопротивлением X L = 4 Ом;
б) резистор сопротивлением R 2 = 6 Ом и конденсатор с емкостным сопротивлением X C = 8 Ом;
в) резистор сопротивлением R 3 = 12 Ом, конденсатор емкостным сопротивлением X C = 8 Ом и катушка с индуктивным сопротивлением X L = 24 Ом.
Ответ: а) 5 Ом; б) 10 Ом; в) 20 Ом.
7. Сколько времени будет гореть неоновая лампочка, если ее на 1 минуту подключить в сеть переменного тока с действующим напряжением 120 В и частотой 50 Гц. Лампочка зажигается и гаснет при напряжении 84,5 В.
График зависимости U(t) представлен на рис. 15.11.
Рис. 15.11.
На графике обозначено напряжение зажигания лампы U з и соответствующие ему два момента времени: t 1 - время зажигания
лампы, когда мгновенные значения напряжения становятся больше U з; t 2 - время, когда лампочка гаснет, так как мгновенные значения напряжения становятся меньше напряжения U з.Очевидно, что длительность одной вспышки
В
течение одного колебания напряжения лампочка загорается 2 раза, так как
работа неоновой лампы не зависит от полярности приложенного напряжения
(см. рис. 15.11). Поэтому число колебаний напряжения за время t 0 равно (t 0 - ν), а число вспышек за это время h = 2t 0 ? v.
Тогда время, в течение которого светится лампа, равно
8.
Неоновая
лампа включена в сеть переменного тока с действующим значением 71 В и
периодом 0,02 с. Напряжение зажигания лампы, равное 86,7 В, считать
равным напряжению гашения. Найти: а) значение промежутка времени, в
течение которого длится вспышка лампы; б) частоту вспышек.
Ответ: а) 3,3 мс; б) 100 Гц.
9. Действующее напряжение в электросети 220 В. На какое напряжение должна быть рассчитана изоляция провода?
Решение
Лекция 13-14.
1 . Принцип получения переменной ЭДС
Переменный ток имеет ряд преимуществ по сравнению с постоянным: генератор переменного тока значительно проще и дешевле генератора постоянного тока; переменный ток можно трансформировать; переменный ток легко преобразуется в постоянный; двигатели переменного тока значительно проще и дешевле, чем двигатели постоянного тока.
В принципе переменным током можно назвать всякий ток, который с течением времени изменяет свою величину, но в технике переменным током называют такой ток, периодически изменяет и величины и направление. Причем среднее значение силы такого тока за период Т равно нулю. Периодическим переменный ток называется потому, что через промежутки времени Т, характеризующие его физические величины принимают одинаковые значения.
В электротехнике наибольшее распространение получил синусоидальный переменный ток, т.е. ток, величина которого изменяется по закону синуса (или косинуса), обладающий рядом достоинств по сравнению с другими периодическими токами.
Переменный ток промышленной частоты получают на электростанциях с помощью генераторов переменного тока (трехфазных синхронных генераторов). Это довольно сложные электрические машины, рассмотрим только физические основы их действия, т.е. идею получения переменного тока.
Пусть в однородном магнитном поле постоянного магнита равномерно вращается с угловой скоростью? рамка площадью S .(рис. 1).
Магнитный поток через рамку будет равен:
Ф=BS cos? (1.1)
где? - угол между нормалью к рамке n и вектором магнитной индукции B. Поскольку при равномерном вращении рамки?= ?/t, то угол? будет изменяться по закону?= ? t и формула(1.1) примет вид:
Ф=BScos?t (1.2)
Поскольку при вращении рамки пересекающий ее магнитный поток все время меняется, то по закону электромагнитной индукции в ней будет наводиться ЭДС индукции Е:
Е = -d Ф /dt =BS?sin?t =E0sin?t (1.3)
где Е0 = BS? - амплитуда синусоидальной ЭДС. Таким образом, в рамке возникнет синусоидальная ЭДС, а если замкнуть рамку на нагрузку, то в цепи потечет синусоидальный ток.
Величину?t = 2?t/Т = 2?ft, стоящую под знаком синуса или косинуса, называют фазой колебаний, описываемых этими функциями. Фаза определяет значение ЭДС в любой момент времени t. Фаза измеряется в градусах или радианах.
Время Т одного полного изменения ЭДС (это время одного оборота рамки) называют периодом ЭДС. Изменение ЭДС со временем может быть изображено на временной диаграмме (рис. 2).
Величину, обратную периоду, называют частотой f = 1/T. Если период измеряется в секундах, то частота переменного тока измеряется в Герцах. В большинстве стран, включая Россию, промышленная частота переменного тока составляет 50Гц (в США и Японии - 60 Гц).
Величина промышленной частоты переменного тока обусловлена технико-экономическими соображениями. Если она слишком низка, то увеличиваются габариты электрических машин и, следовательно, расход материалов на их изготовление; заметным становится мигание света в электрических лампочках. При слишком высоких частотах увеличиваются потери энергии в сердечниках электрических машин и трансформаторах. Поэтому наиболее оптимальными оказались частоты 50 - 60 Гц. Однако, в некоторых случаях используются переменные токи как с более высокой, так и более низкой частотой. Например, в самолетах применяется частота 400 Гц. На этой частоте можно значительно уменьшить габариты и вес трансформаторов и электромоторов, что для авиации более существенно, чем увеличение потерь в сердечниках. На железных дорогах используют переменный ток с частотой 25 Гц и даже 16,66 Гц.
Лекция 13-14
Переменный ток
Как известно, сила тока в любой момент времени пропорциональна ЭДС источника тока (закон Ома для полной цепи). Если ЭДС источника не изменяется со временем и остаются неизменными параметры цепи, то через некоторое время после замыкания цепи изменения силы тока прекращаются, в цепи течет постоянный ток.
Однако в современной технике широко применяются не только источники постоянного тока, но и различные генераторы электрического тока, в которых ЭДС периодически изменяется. При подключении в электрическую цепь генератора переменной ЭДС в цепи возникают вынужденные электромагнитные колебания или переменный ток.
Переменный ток – это периодические изменения силы тока и напряжения в электрической цепи, происходящие под действием переменной ЭДС от внешнего источника
или
Переменный ток – это электрический ток, который изменяется с течением времени по гармоническому закону.
Мы в дальнейшем будем изучать вынужденные электрические колебания, происходящие в цепях под действием напряжения, гармонически меняющегося с частотой ω по синусоидальному или косинусоидальному закону:
u = Um ⋅ sin ωt
или u = Um ⋅ cos ωt
где u – мгновенное значение напряжения, U m – амплитуда напряжения, ω – циклическая частота колебаний. Если напряжение меняется с частотой ω , то и сила тока в цепи будет меняться с той же частотой, но колебания силы тока не обязательно должны совпадать по фазе с колебаниями напряжения. Поэтому в общем случае
i = Im ⋅ sin( ωt + φc )
где φ c – разность (сдвиг) фаз между колебаниями силы тока и напряжения.
Переменный ток обеспечивает работу электрических двигателей в станках на заводах и фабриках, приводит в действие осветительные приборы в наших квартирах и на улице, холодильники и пылесосы, отопительные приборы и т.п. Частота колебаний напряжения в сети равна 50 Гц. Такую же частоту колебаний имеет и сила переменного тока. Это означает, что на протяжении 1 с ток 50 раз поменяет свое направление. Частота 50 Гц принята для промышленного тока во многих странах мира. В США частота промышленного тока 60 Гц.
Резистор в цепи переменного тока
Пусть цепь состоит из проводников с малой индуктивностью и большим сопротивлением R (из резисторов). Например, такой цепью может быть нить накаливания электрической лампы и подводящие провода. Величину R , которую мы до сих пор называли электрическим сопротивлением или просто сопротивлением, теперь будем называть активным сопротивлением . В цепи переменного тока могут быть и другие сопротивления, зависящие от индуктивности цепи и ее емкости. Сопротивление R называется активным потому, что, только на нем выделяется энергия, т.е.
Сопротивление элемента электрической цепи (резистора), в котором происходит превращение электрической энергии во внутреннюю энергию, называют активным сопротивлением .
Итак, в цепи имеется резистор, активное сопротивление которого R , а катушка индуктивности и конденсатор отсутствуют (рис. 1).
Рис. 1
u = Um ⋅ sin ωt
Как и в случае постоянного тока, мгновенное значение силы тока прямо пропорционально мгновенному значению напряжения. Поэтому можно считать, что мгновенное значение силы тока определяется законом Ома:
i = UR = Um ⋅ sin ω tR = Im ⋅ sin ω t
Следовательно, в проводнике с активным сопротивлением колебания силы тока по фазе совпадают с колебаниями напряжения (рис. 2), а амплитуда силы тока равна амплитуде напряжения, деленной на сопротивление:
Рис. 2
При небольших значениях частоты переменного тока активное сопротивление проводника не зависит от частоты и практически совпадает с его электрическим сопротивлением в цепи постоянного тока.
Катушка в цепи переменного тока
Индуктивность влияет на силу переменного тока в цепи. Это можно обнаружить с помощью простого опыта. Составим цепь из катушки большой индуктивности и лампы накаливания (рис. 3). С помощью переключателя можно присоединять эту цепь либо к источнику постоянного напряжения, либо к источнику переменного напряжения. При этом постоянное напряжение и действующее значение переменного напряжения должны быть одинаковы. Опыт показывает, что лампа светится ярче при постоянном напряжении. Следовательно, действующее значение силы тока в рассматриваемой цепи меньше силы постоянного тока.
Рис. 3
Объясняется это самоиндукцией. При подключении катушки к источнику постоянного напряжения сила тока в цепи нарастает постепенно. Возникающее при нарастании силы тока вихревое электрическое поле тормозит движение электронов. Лишь по прошествии некоторого времени сила тока достигает наибольшего (установившегося) значения, соответствующего данному постоянному напряжению. Если напряжение быстро меняется, то сила тока не будет успевать достигать тех установившихся значений, которые она приобрела бы с течением времени при постоянном напряжении, равном максимальному значению переменного напряжения. Следовательно, максимальное значение силы переменного тока (его амплитуда) ограничивается индуктивностью L цепи и будет тем меньше, чем больше индуктивность и чем больше частота приложенного напряжения.
Докажем это математически. Пусть в цепь переменного тока включена идеальная катушка с электрическим сопротивлением провода, равным нулю (рис. 4). При изменениях силы тока по гармоническому закону
i = Im ⋅ cos ωt
в катушке возникает ЭДС самоиндукции
e =− L ⋅ i ′= Im ⋅ L ⋅ ω ⋅ sin ωt
где L – индуктивность катушки, ω – циклическая частота переменного тока.
Рис. 4
Так как электрическое сопротивление катушки равно нулю, то ЭДС самоиндукции в ней в любой момент времени равна по модулю и противоположна по знаку напряжению на концах катушки, созданному внешним генератором:
u =− e =− Im ⋅ L ⋅ ω ⋅ sin ωt
Следовательно, при изменении силы тока в катушке по гармоническому закону напряжение на ее концах изменяется тоже по гармоническому закону, но со сдвигом фазы:
u = Im ⋅ L ⋅ ω ⋅ cos( ωt + π 2)
Следовательно, колебания напряжения на катушке индуктивности опережают колебания силы тока на π/2, или, что то же самое, колебания силы тока отстают по фазе от колебаний напряжения на π/2.
В момент, когда напряжение на катушке достигает максимума, сила тока равна нулю (рис. 5). В момент, когда напряжение становится равным нулю, сила тока максимальна по модулю.
Рис. 5
Произведение Im ⋅ L ⋅ ω
является амплитудой колебаний напряжения на катушке:
Um = Im ⋅ L ⋅ ω
Отношение амплитуды колебаний напряжения на катушке к амплитуде колебаний силы тока в ней называется индуктивным сопротивлением (обозначается X L ):
XL = UmIm = L ⋅ ω
Связь амплитуды колебаний напряжения на концах катушки с амплитудой колебаний силы тока в ней совпадает по форме с выражением закона Ома для участка цепи постоянного тока:
Im = UmXL
В отличие от электрического сопротивления проводника в цепи посто-янного тока, индуктивное сопротивление не является постоянной величиной, характеризующей данную катушку. Оно прямо пропорционально частоте переменного тока. Поэтому амплитуда колебаний силы тока в катушке при постоянном значении амплитуды колебаний напряжения должна убывать обратно пропорционально частоте. Постоянный ток вообще «не замечает» индуктивности катушки. При ω = 0 индуктивное сопротивление равно нулю (X L = 0).
Зависимость амплитуды колебаний силы тока в катушке от частоты приложенного напряжения можно наблюдать в опыте с генератором пере-менного напряжения, частоту которого можно изменять. Опыт показывает, что увеличение в два раза частоты переменного напряжения приводит к уменьшению в два раза амплитуды колебаний силы тока через катушку.
Конденсатор в цепи переменного тока
Рассмотрим процессы, протекающие в электрической цепи переменного тока с конденсатором. Если подключить конденсатор к источнику постоянного тока, то в цепи возникнет кратковременный импульс тока, который зарядит конденсатор до напряжения источника, а затем ток прекратится. Если заряженный конденсатор отключить от источника постоянного тока и соединить его обкладки с выводами лампы накаливания, то конденсатор будет разряжаться, при этом наблюдается кратковременная вспышка лампы.
При включении конденсатора в цепь переменного тока процесс его зарядки длится четверть периода. После достижения амплитудного значения напряжение между обкладками конденсатора уменьшается и конденсатор в течение четверти периода разряжается. В следующую четверть периода конденсатор вновь заряжается, но полярность напряжения на его обкладках изменяется на противоположную и т.д. Процессы зарядки и разрядки конденсатора чередуются с периодом, равным периоду колебаний приложенного переменного напряжения.
Как и в цепи постоянного тока, через диэлектрик, разделяющий обкладки конденсатора, электрические заряды не проходят. Но в результате периодически повторяющихся процессов зарядки и разрядки конденсатора по проводам, соединенным с его выводами, течет переменный ток. Лампа накаливания, включенная последовательно с конденсатором в цепь переменного тока (рис. 6), кажется горящей непрерывно, так как человеческий глаз при высокой частоте колебаний силы тока не замечает периодического ослабления свечения нити лампы.
Рис. 6
Установим связь между амплитудой колебаний напряжения на обкладках конденсатора и амплитудой колебаний силы тока. При изменениях напряжения на обкладках конденсатора по гармоническому закону
u = Um ⋅ cos ωt
заряд на его обкладках изменяется по закону:
q = C ⋅ u = Um ⋅ C ⋅ cos ωt
Электрический ток в цепи возникает в результате изменения заряда конденсатора: i = q ’. Поэтому колебания силы тока в цепи происходят по закону:
i =− Um ⋅ ω ⋅ C ⋅ sin ωt = Um ⋅ ω ⋅ C ⋅ cos( ωt + π 2)
Следовательно, колебания напряжения на обкладках конденсатора в цепи переменного тока отстают по фазе от колебаний силы тока на π/2 или колебания силы тока опережают по фазе колебания напряжения на π/2 (рис. 7). Это означает, что в момент, когда конденсатор начинает заряжаться, сила тока максимальна, а напряжение равно нулю. После того как напряжение достигает максимума, сила тока становится равной нулю и т.д.
Рис. 7
Произведение Um ⋅ ω ⋅ C
является амплитудой колебаний силы тока:
Im = Um ⋅ ω ⋅ C
Отношение амплитуды колебаний напряжения на конденсаторе к амплитуде колебаний силы тока называют емкостным сопротивлением конденсатора (обозначается Х C ):
XC = UmIm =1 ω ⋅ C
Связь между амплитудным значением силы тока и амплитудным значением напряжения по форме совпадает с выражением закона Ома для участка цепи постоянного тока, в котором вместо электрического сопротивления фигурирует емкостное сопротивление конденсатора:
Im = UmXC
Емкостное сопротивление конденсатора, как и индуктивное сопротивление катушки, не является постоянной величиной. Оно обратно пропорционально частоте переменного тока. Поэтому амплитуда колебаний силы тока в цепи конденсатора при постоянной амплитуде колебаний напряжения на конденсаторе возрастает прямо пропорционально частоте.
Закон Ома для электрической цепи переменного ток
Рассмотрим электрическую цепь, состоящую из последовательно соединенных резистора, конденсатора и катушки (рис. 8). Если к выводам этой электрической цепи приложить электрическое напряжение, изменяющееся по гармоническому закону с частотой ω и амплитудой U m , то в цепи возникнут вынужденные колебания силы тока с той же частотой и некоторой амплитудой I m . Установим связь между амплитудами колебаний силы тока и напряжения.
Рис. 8
В любой момент времени сумма мгновенных значений напряжений на последовательно включенных элементах цепи равна мгновенному значению приложенного напряжения:
u = uR + uL + uC
. (1)
Во всех последовательно включенных элементах цепи изменения силы тока происходят практически одновременно, так как электромагнитные взаимодействия распространяются со скоростью света. Поэтому можно считать, что колебания силы тока во всех элементах последовательной цепи происходят по закону:
i = Im ⋅ cos ωt
. (2)
Колебания напряжения на резисторе совпадают по фазе с колебаниями силы тока, колебания напряжения на конденсаторе отстают по фазе на π /2 от колебаний силы тока, а колебания напряжения на катушке опережают по фазе колебания силы тока на π /2. Поэтому уравнение (1) можно записать так:
u = URm ⋅ cos ωt + ULm ⋅ cos( ωt + π 2)+ UCm ⋅ cos( ωt − π 2)
, (3)
где U Rm , U Cm и U Lm – амплитуды колебаний напряжения на резисторе, конденсаторе и катушке.
Амплитуду колебаний напряжения в цепи переменного тока можно выразить через амплитудные значения напряжения на отдельных ее элементах, воспользовавшись методом векторных диаграмм.
При построении векторной диаграммы необходимо учитывать, что колебания напряжения на резисторе совпадают по фазе с колебаниями силы тока, поэтому вектор, изображающий амплитуду напряжения U Rm , совпадает по направлению с вектором, изображающим амплитуду силы тока I m . Колебания напряжения на конденсаторе отстают по фазе на π /2 от колебаний силы тока, поэтому вектор U ⃗ Cm
отстает от вектора I ⃗ m на угол 90°. Колебания напряжения на катушке опережают колебания силы тока по фазе на π /2, поэтому вектор U ⃗ Lm опережает вектор I ⃗ m
на угол 90° (рис. 9).
Рис. 9
На векторной диаграмме мгновенные значения напряжения на резисторе, конденсаторе и катушке определяются проекциями на горизонтальную ось векторов U ⃗ Rm
, U ⃗ Cm и U ⃗ Lm , вращающихся с одинаковой угловой скоростью ω против часовой стрелки. Мгновенное значение напряжения во всей цепи равно сумме мгновенных напряжений u R , u C и u L на отдельных элементах цепи, т. е. сумме проекций векторов U ⃗ Rm , U ⃗ Cm и U ⃗ Lm
на горизонтальную ось. Так как сумма проекций векторов на произвольную ось равна проекции суммы этих векторов на ту же ось, то амплитуду полного напряжения можно найти как модуль суммы векторов:
U ⃗ m = U ⃗ Rm + U ⃗ Cm + U ⃗ Lm
Из рисунка 9 видно, что амплитуда напряжений на всей цепи равна
Um = U 2 Rm +(ULm − UCm )2−−−−−−−−−−−−−−−−− √
, (4)
или
Um =(ImR )2+(ImXL − ImXC )2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− √ = Im ⋅ R 2+(XL − XC )2−−−−−−−−−−−−−− √ = Im ⋅ R 2+(Lω −1 Cω )2−−−−−−−−−−−−−− √
.
Отсюда
Im = UmR 2+(Lω −1 Cω )2 √
. (5)
Введя обозначение для полного сопротивления цепи переменного тока
Z = R 2+(Lω −1 Cω )2−−−−−−−−−−−−−− √
, (6)
выразим связь между амплитудными значениями силы тока и напряжения в цепи переменного тока следующим образом:
Im = UmZ
. (7)
Это выражение называют законом Ома для цепи переменного тока .
Из векторной диаграммы, приведенной на рисунке 9, видно, что фаза колебаний полного напряжения равна ω∙t + φ . Поэтому мгновенное значение полного напряжения определяется формулой:
u = Um ⋅ cos(ωt + φ )
. (8)
Начальную фазу φ можно найти из векторной диаграммы:
cos φ = URmUm = Im ⋅ RIm ⋅ R 2+(Lω −1 Cω )2 √ = RZ
. (9)
Величина cos φ играет важную роль при вычислении мощности в электрической цепи переменного тока.
Мощность в цепи переменного тока
Мощность в цепи постоянного тока определяется произведением напряжения на силу тока:
P = U ⋅ I
.
Физический смысл этой формулы прост: так как напряжение U численно равно работе электрического поля по перемещению единичного заряда, то произведение U∙I характеризует работу по перемещению заряда за единицу времени, протекающего через поперечное сечение проводника, т.е. является мощностью. Мощность электрического тока на данном участке цепи положительна, если энергия поступает к этому участку из остальной сети, и отрицательна, если энергия с этого участка возвращается в сеть. На протяжении очень малого интервала времени переменный ток можно считать неизменным. Поэтому мгновенная мощность в цепи переменного тока определяется такой же формулой:
p = u ⋅ i
.
Пусть напряжение на концах цепи меняется по гармоническому закону
u = Um ⋅ cos ωt
(с тем же успехом, разумеется, вместо u = Um ⋅ cos ωt
можно было бы записать u = Um ⋅ sin ωt
), то и сила тока будет меняться со временем гармонически с той же частотой, но в общем случае будет сдвинута по фазе относительно напряжения:
i = Im ⋅ cos( ω t + φ c )
,
где φ c – сдвиг фаз между силой тока и напряжением. Поэтому для мгновенной мощности можно записать:
p = u ⋅ i = Um ⋅ Im ⋅ cos ωt ⋅ cos(ωt + φc )
.
При этом мощность меняется со временем как по модулю, так и по знаку. В течение одной части периода энергия поступает к данному участку цепи (р > 0), но в течение другой части периода некоторая доля энергии вновь возвращается в сеть (р < 0). Как правило, во всех случаях нам надо знать среднюю мощность на участке цепи за достаточно большой промежуток времени, включающий много периодов. Для этого достаточно определить среднюю мощность за один период.
Чтобы найти среднюю мощность за период, преобразуем полученную формулу таким образом, чтобы выделить в ней член, не зависящий от времени. С этой целью воспользуемся известной формулой для произведения двух косинусов:
cos α ⋅ cos β =cos(α − β )+cos(α + β )2
.
В рассматриваемом случае α = ω∙t и β = ω∙t + φ c . Поэтому
p = Um ⋅ Im 2= Um ⋅ Im 2cos φc + Um ⋅ Im 2cos(2 ωt + φc )
.
Выражение для мгновенное мощности состоит из двух слагаемых. Первое не зависит от времени, а второе дважды за каждый период изменения напряжения изменяет знак: в течение какой-то части периода энергия поступает в цепь от источника переменного напряжения, а в течении другой части возвращается обратно. Поэтому среднее значение второго слагаемого за период равно нулю. Следовательно, средняя мощность Р за период равна первому члену, не зависящему от времени:
P = Um ⋅ Im 2cos φc
. (10)
При совпадении фазы колебаний силы тока и напряжения (для активного сопротивления R ) среднее значение мощности равно:
P = Um ⋅ Im 2= I 2 m ⋅ R 2
.
Для того чтобы формула для расчета мощности переменного тока совпадала по форме с аналогичной формулой для постоянного тока (Р = I∙U = I 2 ∙ R ), вводятся понятия действующих значений силы тока и напряжения. Из равенства мощностей получим
P = I 2 m ⋅ R 2= I 2 ⋅ R
или I 2 m 2= I 2
.
Действующим значением силы тока называют величину, в 2–√
раз меньшую ее амплитудного значения:
I = Im 2√
.
Действующее значение силы тока равно силе такого постоянного тока, при котором средняя мощность, выделяющаяся в проводнике в цепи переменного тока, равна мощности, выделяющейся в том же проводнике в цепи постоянного тока.
Аналогично можно доказать, что
действующее значение переменного напряжения в 2–√
раз меньше его амплитудного значения:
U = Um 2√
.
Заметим, что обычно электрическая аппаратура в цепях переменного тока показывает действующие значения измеряемых величин. Переходя к действующим значениям силы тока и напряжения, уравнение (10) можно переписать:
P = Um 2√ ⋅ Im 2√cos φc = U ⋅ I cos φc
. (10)
Таким образом, мощность переменного тока на участке цепи определяется именно действующими значениями силы тока и напряжения. Она зависит также от сдвига фаз φ c между напряжением и током. Множитель cos φ c в формуле называется коэффициентом мощности .
В случае, когда φ c = ± π /2 , энергия, поступающая к участку цепи за период, равна нулю, хотя в цепи и существует ток. Так будет, в частности, если цепь содержит только катушку индуктивности или только конденсатор. Как же средняя мощность может оказаться равной нулю при наличии тока в цепи? Это поясняют приведенные на рисунке 10 графики изменения со временем мгновенных значений напряжения, силы тока и мощности при φ c = - π /2 (чисто индуктивное сопротивление участка цепи). График зависимости мгновенной мощности от времени можно получить, перемножая значения силы тока и напряжения в каждый момент времени. Из этого графика видно, что в течение одной четверти периода мощность положительна и энергия поступает к данному участку цепи; но в течение следующей четверти периода мощность отрицательна, и данный участок отдает без потерь обратно в сеть полученную ранее энергию. Поступающая в течение четверти периода энергия запасается в магнитном поле тока, а затем без потерь возвращается в сеть.
Рис. 10
Лишь при наличии проводника с активным сопротивлением в цепи, не содержащей движущихся проводников, электромагнитная энергия превращается во внутреннюю энергию проводника, который нагревается. Обратного превращения внутренней энергии в электромагнитную на участке с активным сопротивлением уже не происходит.
При проектировании цепей переменного тока нужно добиваться, чтобы cos φ c не был мал. Иначе значительная часть энергии будет циркулировать по проводам от генератора к потребителям и обратно. Так как провода обладают активным сопротивлением, то при этом энергия расходуется на нагревание проводов.
Неблагоприятные условия для потребления энергии возникают при включении в сеть электродвигателей, так как их обмотка имеет малое активное сопротивление и большую индуктивность. Для увеличения cos φ c в сетях питания предприятий с большим числом электродвигателей включают специальные компенсирующие конденсаторы. Нужно также следить, чтобы электродвигатели не работали вхолостую или с недогрузкой. Это уменьшает коэффициент мощности всей цепи. Повышение cos φ c является важной народнохозяйственной задачей, так как позволяет с максимальной отдачей использовать генераторы электростанций и снизить потери энергии. Это достигается правильным проектированием электрических цепей. Запрещается использовать устройства с cos φ c < 0,85.
Загрузка...
